congruencia [
con-gruen-cia]
(Esta palabra proviene del latín congruentĭa).
[sustantivo femenino]
Conveniencia,
oportunidad.
- En
derecho,
conformidad del fallo o
sentencia dado en
un juicio,
con la
extensión,
concepto y
alcance que tenían las pretensiones de las partes sometidas a
dicho fallo.
- En
geometría euclídea
se dice que existe c.
entre dos figuras
si son superponibles
por un desplazamiento; en
particular, los segmentos de
igual longitud son congruentes
entre sí.
- En
aritmética (en la
teoría de números) presentan
gran interés las llamadas relaciones de c.
entre números enteros. Designemos
por Z el
conjunto de los números enteros, Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }; el
conjunto Z
con la
suma y
producto habituales de números enteros es
un →anillo conmutativo,
íntegro y
con unidad. Sea
m un número entero positivo;
se dice que dos números enteros
cualesquiera,
x, y, son congruentes
módulo m cuando su diferencia es
un múltiplo de
m o, equivalentemente,
cuando al
dividir ambos números
por m se obtiene el
mismo resto. Es
fácil probar que la
relación de c.
módulo m es
una →relación de equivalencia: designemos
por ≡ la
relación de c.
módulo m, escribiremos
x ≡ y (mód.
m) o simplemente
x ≡ y si no hay
peligro de
confusión,
cuando x, y sean congruentes
módulo [sustantivo masculino] Las
tres propiedades características de
una relación de
equivalencia se escriben en
este caso: a) reflexiva:
cualquiera que sea
x, x ≡
x; b) simétrica:
si se cumple
x ≡
y, también y ≡
x; c) transitiva: de verificarse
x ≡
y, y ≡
z, resulta x ≡
z. Se llama clase de c.
módulo m, o
clase de restos
módulo m, de
un entero x al
conjunto de todos los números enteros que
son congruentes
con x módulo m; por ser la
relación de c.
una relación de
equivalencia resulta fácilmente que dos enteros
son congruentes
módulo m si, y
sólo si,
sus clases de c.
módulo m coinciden:
una clase de c.
queda determinada conociendo
uno solo de
sus elementos, y es el
conjunto de enteros congruentes
con él.
Cada clase de c. está constituida
por el
conjunto de todos los enteros que, divididos
por m, dan
un mismo resto.
Como los posibles restos de
una división por m son los números 0, 1, 2,...
m - 2,
m - 1,
resulta que existen
m clases distintas
módulo m, cada una de ellas determinada
por un número no negativo inferior a
[sustantivo masculino] Se definen operaciones de
suma y
producto entre las clases de c.
módulo m a
partir de la
suma y
producto de números enteros;
para sumar o
multiplicar dos clases
basta tomar la
clase de c. a la que pertenece la
suma o el
producto,
respectivamente, de dos enteros, elegido
cada uno de ellos en
una de las clases a
operar. Tomemos
como ejemplo las clases de c.
módulo 5 y escribamos x
para designar la
clase de c. de
un entero x
módulo cinco: la
suma 3 + 4 (= 7 = 2)
se efectúa teniendo en
cuenta que 7 ≡ 2 (mód. 5). El
conjunto de clases de c.
módulo m, con las operaciones de
suma y
producto es
un anillo conmutativo
con unidad, que suele designarse
por Z/m. Se tienen
con ello ejemplos sencillos de anillos
con un número finito de elementos e
incluso de cuerpos finitos,
ya que
se demuestra que el
anillo Z/m es
un cuerpo si, y
sólo si,
m es
un número primo; puede comprobarse en la
tabla de
multiplicación de clases
módulo 5, que
para cada clase de c.
módulo 5
distinta de 0 existe
otra cuyo producto con la
primera es T, es
decir, el
anillo Z/5 es
un cuerpo.
[sustantivo femenino]
Ilación o
conexión de ideas, palabras, etc.
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